Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck - Anwendungen

Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Gymnasium

Mathematik

10. Klasse

6 - 7 Unterrichtsstunden

Beschreibung

Wenn am Equator Line Monument die Sonne senkrecht im Zenit steht, demonstrieren die realen Schatten anschaulich den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Einfallswinkel der Sonne und der Schattenlänge eines Gegenstandes. An diesem Beispiel verstehen Ihre Schüler die Bedeutung von Definitions- und Wertebereich der Tangensfunktion.
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Kompetenzen

Klassenstufe/Lernjahr:10 (G8)
Dauer:6–7 Unterrichtsstunden
Kompetenzen:1. Strahlensatz; 2. Einführung des Tangens; 3. Hinführung zur allgemeinen Definition des Tangens am rechtwinkligen Dreieck; 4. Anwendungsaufgaben
Thematische Bereiche:Algebra
Medien:Texte, Farbfolie

Inhaltsangabe

1. Stunde

Thema:Einstieg mit Rechercheaufgaben
M 1 (Ab)Wenn die Sonne im Zenit stehtFachübergreifende Recherchen zum Sonnenstand in der Zone zwischen südlichem und nördlichem Wendekreis; Schattenbildung bei Zenitstand der Sonne geometrisch als senkrechte Parallelprojektion erklären
M 2 (Ab)Schatten des Equator Line MonumentsErgänzung des Fotos vom Equator Line Monument zu einem rechtwinkligen Dreieck und Beschriftung der Seiten und Winkel nach Vorgabe in selbstständiger SchülerarbeitSchüler formulieren mögliche Fragen zum Sachverhalt „Schatten des Monuments“Aufgabe zur Bestimmung des Erdumfangs durch Eratosthenes
Hausaufgabe:Steckbrief des Equator Line Monuments Quitsato erarbeiten
Benötigt:
  • Internetzugang (alternativ, wenn nicht als Hausaufgabe)

2. Stunde

Thema:Sätze für das rechtwinklige Dreieck
M 3 (Ab)Sonnenstrahlen, Pyramiden und ein historischer LehrsatzVerfahren des Thales zur Höhenbestimmung von Pyramiden im Altertum mit einem Schattenstab; Wiederholung des Strahlensatzes; Hinführung zur Definition des Tangens als spezielles winkelabhängiges Seitenverhältnis in rechtwinkligen Dreiecken
M 4 (Ab)Definition des Tangens im rechtwinkligen DreieckZusammenfassung zur Deutung des Tangens als Funktion eines spitzen Winkelsf(α) = tan(α) im rechtwinkligen Dreieck (siehe M 3)Definition des Tangens als Quotient von Gegenkathete und AnkatheteAuftrag zur praktischen Bestimmung des Sonneneinfallswinkels
Benötigt:
  • Internetzugang

3. Stunde

Thema:Praktische Berechnungen mit der Tangensfunktion
M 5 (Ab)Berechnung der Höhe des Equator Line MonumentsErmittlung der Tangenswerte für vorgegebene spitze Winkel durch Konstruktion von Dreiecken und Messen der entsprechenden Seitenlängen in GruppenarbeitTabelle mit den Ergebnissen der in Gruppenarbeit ermittelten Tangenswerte an der Tafel (Lösungsfolie) zusammenstellenBearbeitung einer komplexen Aufgabe zur Berechnung
  • der Turmhöhe des Equator Line Monuments sowohl mithilfe des Strahlensatzes als auch mittels Einsatz der zeichnerisch ermittelten Werte für den Tangens ausgewählter Winkel
  • seiner Schattenlänge bei verändertem Sonnenstand
  • des Einfallswinkels der Sonne bei bekannter Turmhöhe und bekannter Schattenlänge
M 6 (Ab)Berechnung der Höhe des Equator Line Monuments − LösungFarbfolie mit Lösungen zu den Aufgaben der Materialien M 2 und M 5Darstellung der Schattenbildung am Equator Line Monument durch ein rechtwinkliges Dreieck mit Beschriftung laut Vorgabe (Aufgabe 1, M 2)Tabelle ausgewählter Funktionswerte für den Tangens(Ergebnis der Gruppenarbeit)Berechnung der Höhe des Equator Line Monuments mithilfe des Tangens − Lösung mit Lösungsweg zur Aufgabe 2c, M 5 (Ergebnissicherung)
Benötigt:
  • OH-Projektor bzw. Beamer/Whiteboard bzw. Dokumentenkamera

4. Stunde

Thema:Exkurs
M 7 (Ab)Ein Seitensprung vom Tangens am rechtwinkligen Dreieck zum EinheitskreisDarstellung des Sachverhaltes Schattenbildung am Equator Line Monument im 1. Quadranten des EinheitskreisesVerhalten der Tangensfunktion an den Grenzen des Definitionsbereiches mittels realer Schatten deutenWortherkunft von Tangens als Bezeichnung für das Seitenverhältnis von Gegenkathete und Ankathete am Einheitskreis erklären
Hausaufgabe:in Vorbereitung auf die 5. StundeDen Zusammenhang zwischen der geografischen Breite eines Ortes auf der Nordhalbkugel und dem maximalen Einfallswinkel der Sonne finden

5. Stunde

Thema:Anwendungen
M 8 (Ab)Mit Sonne und Schatten rechnenDer Gnomon (Schattenzeiger) als ein bereits vor der Antike bekanntes astronomisches MessinstrumentNutzung des Taschenrechners zur Bestimmung von Funktionswerten der Tangensfunktion tan(α) und ihrer Umkehrfunktion arctan(α)Experimentelle Bestimmung des Sonneneinfallswinkels mit einem Schattenstab bei Nutzung des TaschenrechnersBerechnung der minimalen Schattenlänge des Berliner Fernsehturms am längsten Tag des Jahres in selbstständiger Schülertätigkeit
M 9 (Ab)SteigungsproblemeDefinition der Steigung in Prozent im StraßenverkehrBerechnung der Neigung der Fichtelberg-SchwebebahnBerechnung der Entfernung zweier Orte mit Höhenangaben auf einer WanderkarteMultiple-Choice-Aufgabe, funktionales Denken (Tangens)Berechnung des Höhenunterschiedes und des Neigungswinkels der steilsten Straße der Welt und maßstäbliche Darstellung des Sachverhalts

6. Stunde

Thema:Fakultatives Material für leistungsstarke Klassen
M 10 (Ab)Anstieg von FunktionenSchnittwinkel α der Funktionsgeraden einer linearen Funktion mit der x-Achse aus der Kenntnis des Anstiegs m mithilfe des Tangens bestimmenUmgekehrt aus der Kenntnis des Anstiegswinkels α den Anstieg m der linearen Funktion ermittelnAnstieg quadratischer Funktionen an einer Stelle x0 bei bekanntem Schnittwinkel der Tangente mit der x-Achse ermittelnErmittlung des Anstiegs der Tangente an den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion an der Stelle x0 = 1 ohne Kenntnis des Anstiegswinkels der Tangente (zur Vorbereitung auf die Behandlung des Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten im elften Schuljahr)

7. Stunde

M 11 (LEK)Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck – Lernerfolgskontrolle

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