Eine runde Sache - Extremwertaufgaben mit Kugel und Kegel

Dieser Beitrag beinhaltet Aufgaben zur Extremalproblematik. Dabei geht es darum, Minima bzw. Maxima für innermathematische Probleme zu berechnen. Konkret untersuchen die Schülerinnen und Schüler Drehkegel und Kugeln und wie die Oberflächen und Volumina zusammenhängen, wenn einer dieser Körper ganz im Inneren des anderen liegt. Für vorgegebene Probleme ermitteln sie diejenige Lösung, die unter Berücksichtigung einer oder mehrerer Nebenbedingungen die optimale Variante darstellt. Solche Aufgabenstellungen können für Schülerinnen und Schüler durchaus interessant sein. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn sie im Ergebnis spannende Zusammenhänge und Verhältnisse unterschiedlicher mathematischer Größen finden. Insbesondere erkennen sie, dass eine Funktion mit einer einzelnen unabhängigen Variablen eine notwendige Voraussetzung zur Lösung dieser Aufgaben ist. Um dies zu erreichen, ist die Ermittlung von passenden Nebenbedingungen ein wichtiger Teil der Aufgaben. Nur eine Funktion mit einer einzelnen unabhängigen Variablen ist die notwendige Voraussetzung für die Lösung einer solchen Extremwertaufgabe.
Da sich aus der Aufgabenstellung meist Funktionsgleichungen mit zwei oder mehreren unabhängigen Variablen ergeben, sind die Nebenbedingungen erforderlich mit deren Hilfe dieses Ziel – Funktionsgleichungen mit genau einer unabhängigen Variablen – erreicht werden kann. Das Ermitteln dieser Nebenbedingungen ist das eigentliche Problem. Dabei helfen in der Regel Skizzen, die den Sachverhalt der Aufgabenstellung prinzipiell darstellen und so das Finden der Lösungsidee erleichtern.
Den Schülerinnen und Schülern wird auch bewusst, wie wichtig der Nachweis der rechnerisch ermittelten lokalen Extrema ist, um für das zu lösende Problem falsche bzw. nicht sinnvolle Ergebnisse auszuschließen.