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Mathematik

Vermischte Übungen aus Analysis Vermischte Übungen aus Analysis

Drei Übungsblätter stellen die Schülerinnen und Schüler vor...

Drei Übungsblätter stellen die Schülerinnen und Schüler vor verschiedene Herausforderungen aus dem Bereich der Analysis. Integrale und Ableitungen sind ebenso ein Teil der Aufgaben wie Grenzwerte und einfache Differenzialgleichungen. Auch das Schließen auf eine Funktionsgleichung anhand eines vorgegebenen Graphen kommt in den Übungen vor,...

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Mathematik

Symmetrien, Stammfunktionen und... Symmetrien, Stammfunktionen und Funktionenscharen

Überprüfen Sie die Leistung Ihrer Schülerinnen und Schüler...

Überprüfen Sie die Leistung Ihrer Schülerinnen und Schüler mithilfe von sechs Übungstests, oder lassen Sie die Jugendlichen damit selbstständig ihre Fähigkeiten einschätzen. Für realistische Prüfungsbedingungen sorgen ein Bewertungsschlüssel sowie eine Zeitvorgabe. Im Rahmen der Aufgaben arbeiten die Jugendlichen mit...

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Mathematik

Bau und Flug eines Lenkdrachens Bau und Flug eines Lenkdrachens

Das Basteln und „Fliegenlassen“ von Drachen bereitet Jugendlichen,...

Das Basteln und „Fliegenlassen“ von Drachen bereitet Jugendlichen, aber auch Erwachsenen großen Spaß. Mit den Werkzeugen der Analysis untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler den Bau eines speziellen Lenkdrachens. Beim „Fliegenlassen“ wird anschließend die Lage des Drachens in der Luft ermittelt.

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Mathematik

Inhaltsverzeichnis... Inhaltsverzeichnis UNTERRICHTS-MATERIALIEN Analysis

Eine Übersicht aller bisher erschienenen Beiträge in...

Eine Übersicht aller bisher erschienenen Beiträge in UNTERRICHTS-MATERIALIEN Analysis

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Mathematik

Fisch, Wurf und Flächendreiteilung Fisch, Wurf und Flächendreiteilung

In drei Rechenbeispielen befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit...

In drei Rechenbeispielen befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit Polynomen. Eher abstrakt ist es, mit zwei sich schneidenden Funktionsgraphen eine Fläche zu bilden, die an einen Fisch erinnert. Praktisch und anschaulicher ist es hingegen, den Wurf eines Balls zu untersuchen und schließlich die Form eines Rundbogenfensters mithilfe einer nach unten...

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Mathematik

Exponentialfunktion, Sinus und... Exponentialfunktion, Sinus und Arkustangens

Sechs anspruchsvolle Übungstests aus Analysis stellen insbesondere auch...

Sechs anspruchsvolle Übungstests aus Analysis stellen insbesondere auch leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler vor neue Herausforderungen. Sie befassen sich mit verschiedenen Funktionen und Funktionenscharen, darunter die Exponentialfunktion oder der Arkustangens. Insbesondere beim Integrieren ist an einigen Stellen Einfallsreichtum und gute...

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Mathematik

Matrjoschka Matrjoschka

Die ineinander geschachtelten, hölzernen Figuren – Matrjoschkas –...

Die ineinander geschachtelten, hölzernen Figuren – Matrjoschkas – unterschiedlicher Größe sind für viele Touristen ein beliebtes Souvenir. Durch die geschwungene und gleichmäßige Form lassen sie sich aber auch mathematisch mit den Mitteln der Analysis beleuchten und berechnen. Die Bearbeitung dieser Aufgaben kann der Motivation der...

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Mathematik

Vermischte Übungen aus Analysis Vermischte Übungen aus Analysis

Dieser bunte Mix aus Übungsaufgaben deckt ein breites Spektrum der Analysis...

Dieser bunte Mix aus Übungsaufgaben deckt ein breites Spektrum der Analysis ab. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen die Flugbahn einer Rakete, berechnen das Volumen eines Fasses und nähern den Schnittpunkt zweier Graphen mit dem Newton-Verfahren an. Auch das Bilden einer Umkehrfunktion ist Teil einer Aufgabe. Darüber hinaus interpretieren die...

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Mathematik

Kosinus und Arkustangens,... Kosinus und Arkustangens, Logarithmus und Exponentialfunktion

Fünf Übungstests unterstützen Sie bei der...

Fünf Übungstests unterstützen Sie bei der Leistungsüberprüfung Ihrer Schülerinnen und Schüler oder helfen den Jugendlichen dabei, ihre eigenen Fähigkeiten einzuschätzen. Die Aufgaben eignen sich auch als Vorbereitung auf das schriftliche Abitur. Die Zeitvorgabe sowie der Bewertungsschlüssel sorgen dabei für realistische...

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Mathematik

Energieerzeugung durch eine... Energieerzeugung durch eine Photovoltaikanlage

Im Rahmen der Energiewende spielt die Photovoltaik (kurz PV) im privaten Bereich...

Im Rahmen der Energiewende spielt die Photovoltaik (kurz PV) im privaten Bereich eine große Rolle, denn neben dem Klimaschutz fördern Photovoltaikanlagen auch die Unabhängigkeit von anderen Energiequellen, die in Deutschland kaum vorkommen. Mit den Werkzeugen der Analysis untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler eine reale PV-Anlage, nähern...

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Mathematik

Wachstum, Zerfall und zeitliche... Wachstum, Zerfall und zeitliche Veränderung

Ob das Wachstum von Bakterienkulturen oder der Zerfall von radioaktiven...

Ob das Wachstum von Bakterienkulturen oder der Zerfall von radioaktiven Substanzen, mathematisch lassen sich solche Prozesse häufig mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben. Nach einer kurzen Einleitung und Wiederholung der wichtigsten Eigenschaften dieser Art von Funktionen lösen Ihre Schülerinnen und Schüler eine Reihe von Textaufgaben, in denen...

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Mathematik

Halbkreis, Funktion mit... Halbkreis, Funktion mit Definitionslücke und Funktionenscharen

Fünf Übungstests unterstützen Sie bei der...

Fünf Übungstests unterstützen Sie bei der Leistungsüberprüfung Ihrer Schülerinnen und Schüler oder helfen den Jugendlichen dabei, ihre eigenen Fähigkeiten einzuschätzen. Auch als Vorbereitung auf das schriftliche Abitur eignen sich die Aufgaben. Mit Zeitvorgabe und Bewertungsschlüssel sorgen die Übungsblätter dabei...

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Mathematik

Bevölkerungszahlen und... Bevölkerungszahlen und Geldautomaten

Im Mittelpunkt mehrerer Übungsaufgaben steht zum einen die Modellierung und...

Im Mittelpunkt mehrerer Übungsaufgaben steht zum einen die Modellierung und der Vergleich der Bevölkerungsentwicklung in China und Indien, zum anderen die Entwicklung der Anzahl der Geldautomaten in Deutschland. Die Schülerinnen und Schüler benutzen im ersten Fall die bekannten Bevölkerungszahlen der Jahre 1950 bis 2022 zum Aufstellen ganzrationaler...

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Mathematik

Parameterbestimmung bei einer... Parameterbestimmung bei einer ganzrationalen Funktionenschar

Die Jugendlichen bestimmen charakteristische Punkte bzw. Eigenschaften einer...

Die Jugendlichen bestimmen charakteristische Punkte bzw. Eigenschaften einer Funktionenschar. Abhängig vom Parameter stellen sie die Gleichung der Wendetangente auf und betrachten die Dreiecksfläche, die die Wendetangente mit den Koordinatenachsen einschließt. Bei dem Parameter der Funktionenschar müssen sie hierbei Fallunterscheidungen durchführen...

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Mathematik

Übungsaufgaben mit Sinus,... Übungsaufgaben mit Sinus, Kosinus und Arkussinus

In drei Übungsblättern dreht sich alles um Sinus, Kosinus und...

In drei Übungsblättern dreht sich alles um Sinus, Kosinus und Arkussinus. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Schnittpunkte zwischen zwei Funktionen mit trigonometrischen Termen und arbeiten mit zusammengesetzten Funktionen. Sie führen Kurvendiskussionen durch und berechnen Flächen mithilfe von Integralen. Dabei kommen insbesondere auch die...

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Mathematik

Stammfunktionen, Flächeninhalte,... Stammfunktionen, Flächeninhalte, wahre und falsche Aussagen

Ob als Leistungsüberprüfung oder Abiturvorbereitung, zur Wiederholung...

Ob als Leistungsüberprüfung oder Abiturvorbereitung, zur Wiederholung oder als Hausübung: Sechs Übungsblätter bieten Ihren Schülerinnen und Schülern eine breite Auswahl an Aufgaben aus dem Gebiet der Analysis. Die Themen reichen dabei von der Bestimmung von Stammfunktionen oder Kurvendiskussionen bei rationalen Funktionen, Exponential- oder...

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Mathematik

Eigenschaften von Funktionen Eigenschaften von Funktionen

Während in manchen Aufgaben dieses Materials die Eigenschaften bestimmt...

Während in manchen Aufgaben dieses Materials die Eigenschaften bestimmt werden müssen, geht eine Reihe von Beispielen den umgekehrten Weg. Gegeben sind bestimmte Eigenschaften, anhand derer die Schülerinnen und Schüler herausfinden müssen, wie die zugehörigen Funktionsgleichungen lauten. Es handelt sich um anspruchsvolle Aufgaben, die sich an...

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Schwimmwettkampf an der Badebucht Schwimmwettkampf an der Badebucht

In einem konkreten und anschaulichen Beispiel werfen die Schülerinnen und...

In einem konkreten und anschaulichen Beispiel werfen die Schülerinnen und Schüler einen genauen Blick auf das mathematische Modell eines Badesees. Dabei bestimmen sie mit den Werkzeugen der Analysis die Abgrenzungen des Ufers, die Wege zur Bucht sowie die Größe eines vorhandenen Parkplatzes. Für einen stattfindenden Schwimmwettkampf ermitteln sie...

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Mathematik

Die Vase und andere Rotationskörper Die Vase und andere Rotationskörper

Durch Rotation von Funktionsgraphen um die x-Achse entstehen Körper, deren...

Durch Rotation von Funktionsgraphen um die x-Achse entstehen Körper, deren Volumen die Schülerinnen und Schüler per Integralrechnung bestimmen können. Dabei lassen sich auch komplexere Körper durch abschnittsweise definierte Funktionen zusammensetzen. Auf diese Weise lassen sich auch reale Gegenstände wie eine Vase oder eine Glühbirne mit...

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Lösungsvielfalt durch... Lösungsvielfalt durch Näherungsverfahren

Kurvendiskussionen, Flächen- oder Volumenberechnungen sowie...

Kurvendiskussionen, Flächen- oder Volumenberechnungen sowie Extremwertuntersuchungen bei einfachen, verketteten Wurzelfunktionen führen häufig zu Gleichungen, für die es keine in der Schule behandelten Lösungsalgorithmen gibt. Mit einem CAS-Rechner ist das Lösen solcher Gleichungen i. A. kein Problem. Im Mathematikunterricht und im Abitur sind...

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Extremwertprobleme und... Extremwertprobleme und Flächenberechnungen bei einer...

Bei einer Wurzelfunktionenschar und einer Geradenschar, die oft...

Bei einer Wurzelfunktionenschar und einer Geradenschar, die oft fälschlicherweise von Schülerinnen und Schülern aus der Wurzelfunktionenschar hergeleitet wird, werden die Parameter bestimmt, sodass bestimmte Eigenschaften vorliegen. Erweitert werden diese Aufgabenstellungen noch um Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken sowie zur Volumenberechnung...

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Reelle Funktionen und... Reelle Funktionen und Arkusfunktionen

Während die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens im Unterricht meist...

Während die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens im Unterricht meist sehr ausführlich behandelt werden, beschränkt sich die Anwendung von deren Umkehrungen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens meist auf einen Tastendruck am Taschenrechner. Das vorliegende Material bietet Ihnen daher Übungsaufgaben, die Ihre Schülerinnen und Schüler...

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Abiturvorbereitung Analysis Abiturvorbereitung Analysis

Mit sechs Übungstests können Sie den Wissensstand Ihrer...

Mit sechs Übungstests können Sie den Wissensstand Ihrer Schülerinnen und Schüler im Bereich der Analysis überprüfen und sie auf das schriftliche Abitur vorbereiten. Die Zeitvorgabe und der Bewertungsschlüssel helfen den Lernenden dabei, ihre Fähigkeiten unter realistischen Bedingungen zu erproben. Die Aufgaben decken dabei eine weite...

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Integralrechnung Integralrechnung

In einer Reihe von Übungsbeispielen beschäftigen sich die...

In einer Reihe von Übungsbeispielen beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit der Berechnung von Flächen und Volumina mithilfe der Integralrechnung. Dabei werden nicht nur exakte Berechnungen durchgeführt, in einem Beispiel stehen die Lernenden auch vor der Herausforderung, Intervallgrenzen nur näherungsweise zu bestimmen. Auch der...

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Abschnittsweise definierte... Abschnittsweise definierte Funktionen

In diesem Beitrag beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler...

In diesem Beitrag beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit einer Reihe von Aufgaben, die sich um abschnittsweise definierte Funktionen drehen. Dabei kommen sowohl rationale Funktionen als auch Exponential-, Wurzel- oder Logarithmusfunktionen vor. Die Lernenden überprüfen die Stetigkeit und Differenzierbarkeit dieser Funktionen und...

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Extrempunkte, Wendepunkte, Tangente Extrempunkte, Wendepunkte, Tangente

In sechs Übungstests aus dem Bereich der Analysis befassen sich die...

In sechs Übungstests aus dem Bereich der Analysis befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit verschiedenen Funktionen. Im Rahmen von Kurvendiskussionen bestimmen sie Ableitungsfunktionen, Null- und Extremstellen sowie Wendepunkte. Ferner wenden sie die Integralrechnung zum Bestimmen von Flächeninhalten an. Jeder der Tests bietet auch eine Zeitvorgabe...

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Anwendungen der Analysis Anwendungen der Analysis

Dieser Beitrag bietet eine Reihe von Textaufgaben, die jeweils durch Bilder...

Dieser Beitrag bietet eine Reihe von Textaufgaben, die jeweils durch Bilder unterstützt werden. Es geht um den Zusammenhang zwischen Längen, Flächen und Volumina, und wie unter bestimmten Umständen von einem aufs andere geschlossen werden kann. Dabei ist zunächst vor allem das Verstehen der Aufgabenstellung erforderlich. In vielen der Beispiele geht...

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Eine runde Sache Eine runde Sache

Nur eine Funktion mit einer einzelnen unabhängigen Variablen ist die...

Nur eine Funktion mit einer einzelnen unabhängigen Variablen ist die notwendige Voraussetzung für die Lösung einer solchen Extremwertaufgabe. Da sich aus der Aufgabenstellung meist Funktionsgleichungen mit zwei oder mehreren unabhängigen Variablen ergeben, sind die Nebenbedingungen erforderlich mit deren Hilfe dieses Ziel – Funktionsgleichungen mit...

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Parabeln und Integralrechnung Parabeln und Integralrechnung

Parabeln mit festem Scheitelpunkt kennen die Jugendlichen bereits aus der...

Parabeln mit festem Scheitelpunkt kennen die Jugendlichen bereits aus der Mittelstufe. Im Beitrag liegt der Scheitelpunkt jedoch variabel auf einer Parallelen zur x-Achse oder auf einer Geraden im 1. Quadranten und läuft durch einen weiteren festen Punkt. Ihre Schüler und Schülerinnen bestimmen mit weiteren Vorgaben die Parabelgleichung und berechnen die...

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Rotationskörper:... Rotationskörper: Exponentialfunktionen

In dieser Aufgabensammlung befassen sich die Lernenden mit Funktionen, bei denen...

In dieser Aufgabensammlung befassen sich die Lernenden mit Funktionen, bei denen ein Exponentialterm im Zähler oder im Nenner vorkommt. Sie führen Kurvendiskussionen durch, bei denen sie Nullstellen sowie Extrem- und Wendepunkte bestimmen. Schließlich berechnen sie mittels Integration das Volumen, das durch Rotation eines Funktionsgraphen um die x-Achse...

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Rationale Funktionen und... Rationale Funktionen und Exponentialfunktionen

Dieser Beitrag bietet Ihnen sechs Übungstests mit Aufgaben aus dem Bereich...

Dieser Beitrag bietet Ihnen sechs Übungstests mit Aufgaben aus dem Bereich der Analysis. Die Schülerinnen und Schüler befassen sich dabei mit rationalen und gebrochenrationalen Funktionen sowie mit Exponentialfunktionen. Sie führen Kurvendiskussionen durch und berechnen Flächeninhalte mittels Integration. In einigen Aufgaben sind die Jugendlichen...

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Abiturvorbereitung Analysis Abiturvorbereitung Analysis

Dieser Beitrag bietet sechs Übungstests, mit denen sich die Schülerinnen...

Dieser Beitrag bietet sechs Übungstests, mit denen sich die Schülerinnen und Schüler auf das schriftliche Abitur vorbereiten können. Im Zuge der Aufgaben befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit rationalen und gebrochenrationalen Funktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen. Im Rahmen von Kurvendiskussionen bestimmen sie...

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Rotationskörper: Wurzelfunktionen Rotationskörper: Wurzelfunktionen

In dieser Aufgabensammlung befassen sich die Lernenden mit Funktionen oder...

In dieser Aufgabensammlung befassen sich die Lernenden mit Funktionen oder Funktionenscharen, in denen Wurzelterme vorkommen. Im Rahmen von Kurvendiskussionen bestimmen sie Extrem- und Wendepunkte sowie Tangentengleichungen und zeichnen die Funktionsgraphen. Per Integralrechnung berechnen die Schülerinnen und Schüler schließlich nicht nur Flächeninhalte,...

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Untersuchung einer... Untersuchung einer Exponentialfunktion

Funktionsuntersuchungen mit Eigenschaftsbestimmungen gehören zu den...

Funktionsuntersuchungen mit Eigenschaftsbestimmungen gehören zu den Standardaufgaben des Analysis-Unterrichts der Oberstufe. Ebenso können Figuren zwischen den Graphen der Funktion und der x-Achse gelegt werden, sodass der Flächeninhalt maximal wird. Die Funktionsuntersuchung erweitert der Beitrag damit um Extremalwertaufgaben. Nimmt man zum Graph einer...

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Kurvenscharen Kurvenscharen

In den Naturwissenschaften und in der Technik nimmt die Behandlung von...

In den Naturwissenschaften und in der Technik nimmt die Behandlung von Kurvenscharen eine große Rolle bei der Simulation von Vorgängen und Prozessen ein. Die Kurvenscharen werden im Unterricht der Sekundarstufe II in Klassen mit erhöhtem Niveau ausführlich behandelt und sind auch Gegenstand der Abiturprüfung. In einem ausführlichen Theorieteil...

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Rotationskörper: Rationale... Rotationskörper: Rationale Funktionen

In dieser Aufgabensammlung befassen sich die Lernenden mit rationalen Funktionen...

In dieser Aufgabensammlung befassen sich die Lernenden mit rationalen Funktionen und Funktionenscharen. Im Rahmen von Kurvendiskussionen bestimmen sie Extrem- und Wendepunkte sowie Tangentengleichungen und zeichnen die Funktionsgraphen. Per Integralrechnung berechnen die Schülerinnen und Schüler schließlich nicht nur Flächeninhalte, sondern auch...

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Die Arcusfunktionen Die Arcusfunktionen

In diesem Beitrag werden die Arcusfunktionen als Umkehrung der trigonometrischen...

In diesem Beitrag werden die Arcusfunktionen als Umkehrung der trigonometrischen Funktionen betrachtet und ausführlich in Beispielen und Aufgaben besprochen. Differentiation und Integration werden dabei ebenso behandelt wie die Verkettung mit anderen Funktionen. Anhand von vorgerechneten Beispielen wird den Lernenden demonstriert, wie sie mit den Funktionen arbeiten,...

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Mathematik

Graphen verschieben, strecken... Graphen verschieben, strecken und spiegeln

Am Anfang steht eine klassische Kurvendiskussion. Sie führt auf einen...

Am Anfang steht eine klassische Kurvendiskussion. Sie führt auf einen Graphen, den man als Silhouette eines Fisches interpretieren kann. Aus dieser Grundidee entstand die Anregung zur Variierung von Funktionsgleichungen, um durch Verschieben, Spiegeln und Strecken aus einer „Urform“ ganze „Fischschwärme“ modellhaft grafisch darzustellen....

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Untersuchungen an einer... Untersuchungen an einer ganzrationalen Funktionenschar

In diesem Beitrag erkennen die Jugendlichen, dass sie Funktionsterme geschickt...

In diesem Beitrag erkennen die Jugendlichen, dass sie Funktionsterme geschickt umformen können, sodass sie Extrempunkte bzw. Nullstellen einfach bestimmen können, für die sie sonst einen GTR/CAS benötigt hätten. Bei der Funktionenschar werden Eigenschaften wie Flächeninhalt oder Rechtwinkligkeit eines Dreiecks vorgegeben. Die Lernenden bestimmen...

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Übungstests Übungstests

Dieser Beitrag bietet Ihnen eine Reihe von Übungstests zum Thema Integrieren...

Dieser Beitrag bietet Ihnen eine Reihe von Übungstests zum Thema Integrieren und Differenzieren, mit denen Sie das Wissen Ihrer Schülerinnen und Schüler überprüfen können. Dabei steht in jedem Test eine andere Art von Funktion oder Funktionenschar im Mittelpunkt. So arbeiten die Lernenden entweder mit ganz- oder gebrochenrationalen Funktionen,...

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Jetzt geht's rund Jetzt geht's rund

Bei Extremwertaufgaben geht es bekanntlich darum, aus der Menge aller...

Bei Extremwertaufgaben geht es bekanntlich darum, aus der Menge aller Lösungen diejenige für ein bestimmtes Problem zu ermitteln, die bei Berücksichtigung vorgegebener Bedingungen (Nebenbedingungen) die bestmögliche darstellt. Dabei bietet die Differentialrechnung Untersuchungsmethoden für eine exakte, umfassende und schnelle Analyse solcher...

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Extremwertprobleme und... Extremwertprobleme und Flächenberechnungen bei einer...

Funktionsuntersuchungen mit der Bestimmung gewisser Eigenschaften des Graphen...

Funktionsuntersuchungen mit der Bestimmung gewisser Eigenschaften des Graphen einer Funktion gehören zu den Standardaufgaben des Analysisunterrichts der Oberstufe. Dies lässt sich um Extremalwertaufgaben erweitern, indem zwischen zwei Graphen Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze eingefügt werden, deren Flächeninhalt maximal wird. Ebenso können Graphen...

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Extremwertprobleme und... Extremwertprobleme und Anwendungen bei einer Exponentialfunktion

Funktionsuntersuchungen mit Eigenschaftsbestimmungen gehören zu den...

Funktionsuntersuchungen mit Eigenschaftsbestimmungen gehören zu den Standardaufgaben des Analysis-Unterrichts der Oberstufe. Nimmt man jedoch zum Graph einer Funktion noch z. B. den Graphen der Ableitungsfunktion oder den verschobenen bzw. gespiegelten Graphen der Funktion hinzu, so lassen sich dazwischen Dreiecke mit bestimmten Eigenschaften legen. Ebenso können...

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Abiturvorbereitung Analysis Abiturvorbereitung Analysis

In diesem Beitrag finden Sie sechs Lernerfolgskontrollen bzw. Selbsttests zur...

In diesem Beitrag finden Sie sechs Lernerfolgskontrollen bzw. Selbsttests zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur. Die Aufgaben beschäftigen sich mit verschiedenen gebrochen- und ganzrationalen Funktionen bzw. Funktionenscharen. Aber auch Wurzel-, Logarithmus- und Exponentialfunktionen bzw. -terme werden behandelt. Eine Bearbeitungszeitvorgabe sorgt dabei für...

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Datenanalyse und Modellierung Datenanalyse und Modellierung

Im Mittelpunkt des Beitrags steht die Modellierung der realen Daten des...

Im Mittelpunkt des Beitrags steht die Modellierung der realen Daten des Rheinhochwassers im Februar 2021. Mithilfe einer modellierten Funktion beantworten die Lernenden z. B. Fragen nach der Sperrung von Parkplätzen, nach der Zeitdauer der eingeschränkten Schifffahrt auf dem Rhein oder dem Zeitpunkt des schnellsten Anstiegs. An realen Hochwasserdaten modellieren...

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Planung im Naherholungsgebiet Planung im Naherholungsgebiet

Bei der Planung neuer Wege und Leitungstrassen in einem Naherholungsgebiet...

Bei der Planung neuer Wege und Leitungstrassen in einem Naherholungsgebiet müssen die vorhandenen Gegebenheiten und gewisse Bedingungen berücksichtigt werden. Mit den Werkzeugen der Analysis untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler die bestehenden Sachlagen und benutzen sie, damit die gestellten Forderungen erfüllt werden.

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Die Mathematik im Klavier Die Mathematik im Klavier

Wie hängen eine Klaviertaste und die Frequenz des Tons, den diese Taste...

Wie hängen eine Klaviertaste und die Frequenz des Tons, den diese Taste erzeugt, mathematisch zusammen? Dieser Zusammenhang wird hier untersucht! Abseits der so wenig variierenden Schulbuchaufgaben beschreibt der Beitrag eine alltagsnahe Anwendung von Exponentialfunktion und Logarithmus, die zusätzlich durch weitreichende Querverbindungen zur Musik und zur Physik...

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Verhältnisse Verhältnisse

Die Schülerinnen und Schüler üben bei der Lösung der hier...

Die Schülerinnen und Schüler üben bei der Lösung der hier gestellten Aufgaben den Umgang mit variablen Koeffizienten und schulen dadurch wesentlich ihr mathematischlogisches Denk- und Abstraktionsvermögen. Im Vordergrund stehen der Umgang mit allgemein geltenden Gesetzmäßigkeiten und die Arbeit mit Parametern und Variablen. Die aus...

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Abiturvorbereitung Analysis Abiturvorbereitung Analysis

In diesem Beitrag finden Sie sechs Lernerfolgskontrollen bzw. Selbsttests zur...

In diesem Beitrag finden Sie sechs Lernerfolgskontrollen bzw. Selbsttests zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur. Die Jugendlichen diskutieren gebrochen-rationale, zusammengesetzte Logarithmus- und Exponentialfunktionsscharen, wenden Differentiations- und Integrationsregeln an, unterscheiden Integral- von Stammfunktionen und berechnen Flächeninhalte.

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Optimierung des Flächeninhalts Optimierung des Flächeninhalts

Extremwertprobleme, also die Bestimmung lokaler Minima oder Maxima, sind ein...

Extremwertprobleme, also die Bestimmung lokaler Minima oder Maxima, sind ein wesentlicher Baustein bei der Behandlung der Differentialrechnung, vor allem im Rahmen der innermathematischen Problematik „Kurvendiskussion“. Wichtiger und reizvoller ist für Schülerinnen und Schüler aber die Anwendung dieser Kenntnisse und Fertigkeiten auf...

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Parabeln, Parabeln, Parabeln Parabeln, Parabeln, Parabeln

Dieser Beitrag enthält eine Sammlung von Aufgaben, die sich mit Parabeln...

Dieser Beitrag enthält eine Sammlung von Aufgaben, die sich mit Parabeln beschäftigen. Zur Durchführung von Kurvendiskussionen sowie der Berechnung von Flächen und Volumina wenden die Schüler dabei ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung an. Zur Berechnung von Schnittwinkeln kommen auch Winkelfunktionen zum Einsatz.

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Transformation von Funktionen Transformation von Funktionen

Durch Anwendung von bestimmten Transformationen auf den Graphen einer Funktion...

Durch Anwendung von bestimmten Transformationen auf den Graphen einer Funktion (Verschiebung, Streckung/Stauchung oder Spiegelung) erhalten die Jugendlichen die Graphen von „artverwandten“ Funktionen. Ist der Graph der Funktion bekannt, so können die Lernenden den Graphen der transformierten Funktion daraus ableiten und skizzieren. Ebenso bestimmen sie bei...

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Höhere Ableitungen, Extrem- und... Höhere Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte

Dieser Unterrichtsbeitrag behandelt das Thema Extrem- und Wendepunkte, für...

Dieser Unterrichtsbeitrag behandelt das Thema Extrem- und Wendepunkte, für das die Jugendlichen höhere Ableitungen benötigen. Wie lese ich mögliche Extremstellen aus der Ableitungsfunktion heraus? Für was brauche ich die 2. und 3. Ableitung? Wie weise ich Extrem- und Wendepunkte überhaupt nach? Die Schülerinnen und Schüler lernen den...

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Extremale Aussagen Extremale Aussagen

Dieser Beitrag motiviert Ihre Schülerinnen und Schüler und fordert sie...

Dieser Beitrag motiviert Ihre Schülerinnen und Schüler und fordert sie auf, sich mit der Beweisführung in der Mathematik anhand extremaler Aussagen zu beschäftigen und diese an entsprechenden Beispielen zu überprüfen. Dazu verwenden sie Zusammenhänge aus der Geometrie der Ebene (Rechteck – Quadrat; gleichschenkliges Dreieck –...

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Mathematik

Größte und kleinste Werte Größte und kleinste Werte

Für welchen Wert ist die Dreiecksfläche maximal? Wie lautet die Gerade,...

Für welchen Wert ist die Dreiecksfläche maximal? Wie lautet die Gerade, mit der die Kathetensumme minimal wird, und welchen minimalen Abstand hat ein Funktionsgraph zu einer Geraden? In diesem Beitrag beantworten Ihre Schülerinnen und Schüler diese und ähnliche Fragen mithilfe der Werkzeuge der Analysis. Die Aufgaben stärken besonders das...

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Algebraische Funktionen Algebraische Funktionen

Die Schüler lernen Potenz- und Wurzelfunktionen zu diskutieren. Sie erfahren,...

Die Schüler lernen Potenz- und Wurzelfunktionen zu diskutieren. Sie erfahren, dass Zuordnungen und Funktionen auch durch algebraische Gleichungen definiert werden können, lernen das implizite Differenzieren kennen und spalten nach Möglichkeit die Gleichungen in Funktionen auf.

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Mathematik

Analysis im Kontext -... Analysis im Kontext - kompetenzorientierte LEKs

Der Beitrag ermöglicht Ihren Schülerinnen und Schülern, weitgehend...

Der Beitrag ermöglicht Ihren Schülerinnen und Schülern, weitgehend selbstständig die zentralen Themen der Analysis (Funktionen als mathematische Modelle, Fortführung der Differenzialrechnung, Grundverständnis des Integralbegriffs, Integralrechnung) gerade auch mit Blick auf das Abitur zu wiederholen. Dabei wird jeweils zwischen dem grundlegenden...

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Mathematik

Ableitungen im Buchstabennetz Ableitungen im Buchstabennetz

Rätsel faszinieren Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit....

Rätsel faszinieren Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Während sie beim Buchstabensalat Worte streichen und am Ende ein Lösungswort ablesen können, werden sie im vorliegenden Beitrag durch berechnete Steigungen, die ein Graph einer Funktion an einer Stelle annimmt, gelenkt, um einen Lösungssatz in einem Buchstabennetz zu finden....

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Teilungsverhältnis von Flächen... Teilungsverhältnis von Flächen und Körpern

Teilungsverhältnisse von Strecken und Flächen kennen die...

Teilungsverhältnisse von Strecken und Flächen kennen die Schülerinnen und Schüler schon aus der Unter- und Mittelstufe (z. B.: die Seitenhalbierenden im Dreieck teilen sich im Verhältnis 2 : 1; die Diagonalen in der Raute halbieren die Fläche). Im Beitrag untersuchen sie zwei sich schneidende Parabeln, die von den Parabeln eingeschlossenen...

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Schar von Logarithmusfunktionen,... Schar von Logarithmusfunktionen, Stammfunktion, Integralfunktion

Ihre Klasse ist fit in Kurvendiskussionen, Stamm- und Integralfunktionen und die...

Ihre Klasse ist fit in Kurvendiskussionen, Stamm- und Integralfunktionen und die Jugendlichen kennen den natürlichen Logarithmus wie ihre eigene Westentasche? Dann ist dieser Beitrag mit einem Test zu Logarithmusscharen jetzt genau das Richtige. In einer Lernerfolgskontrolle können Sie den Wissenstand Ihrer Schülerinnen und Schüler genau erfassen und sie...

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Ableitung von Exponentialfunktionen Ableitung von Exponentialfunktionen

Ausmalbilder bzw. Mandalas kennen die Schülerinnen und Schüler seit...

Ausmalbilder bzw. Mandalas kennen die Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Der Beitrag macht sich den motivierenden Aspekt von Ausmalbildern zunutze. Vorwiegend durch Anwenden der Summen-, Produkt- und Kettenregel bestimmen die Lernenden die Ableitung von Exponentialfunktionen und entdecken durch Vergleich mit den vorgegebenen Ableitungen die auszumalende...

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COVID-19 - Verbreitungs- und... COVID-19 - Verbreitungs- und Wachstumsarten von Seuchen

Wissenschaftler haben verschiedene Wachstumsmodelle entwickelt, um in der Natur...

Wissenschaftler haben verschiedene Wachstumsmodelle entwickelt, um in der Natur auftretende Phänomene beschreiben zu können. Zum Beispiel entwickeln sich Populationen je nach Nahrungsvorrat und Rahmenbedingungen unterschiedlich. Ausgehend von der einfachen, linearen Zunahme behandelt der Beitrag zunächst das (hemmungslose,) exponentielle Wachstum, dann das...

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Mathematik

Rotationskörper - Abituraufgaben Rotationskörper - Abituraufgaben

Rotationssymmetrische Rührgefäße bieten ein dankbares Umfeld...

Rotationssymmetrische Rührgefäße bieten ein dankbares Umfeld für Mathematikaufgaben – damals wie heute. In diesem Beitrag reisen Ihre Schülerinnen und Schüler gedanklich zurück ins Jahr 1968 und bearbeiten eine Abituraufgabe aus dieser Zeit. Wie einst üblich lösen die Lernenden die Aufgabe ohne digitale Hilfsmittel. Diese...

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Mathematik

Ableitung - verstehen und anwenden Ableitung - verstehen und anwenden

Dieser Unterrichtsbeitrag behandelt das Thema Ableitung, die Grundlage für...

Dieser Unterrichtsbeitrag behandelt das Thema Ableitung, die Grundlage für alle Funktionenbetrachtungen in der Oberstufe. Damit die Ableitung für die Schülerinnen und Schüler nicht nur ein abstrakter Begriff bleibt, wird sie zuerst mithilfe von GeoGebra und eigenen Grafiken visualisiert. In diesem Beitrag geht es insbesondere darum, selbst aktiv zu werden...

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Mathematik

Mit Parabeln Nachrichten... Mit Parabeln Nachrichten entschlüsseln

Dieser Beitrag trainiert den Umgang mit Parabeln (und auch Geraden) auf...

Dieser Beitrag trainiert den Umgang mit Parabeln (und auch Geraden) auf spielerische Art und Weise. Ihre Schülerinnen und Schüler erkennen in den Schaubildern von Graphen Buchstaben. Umgekehrt stellen sie mithilfe von ganzrationalen Funktionen zweiten Grades und Geraden Buchstaben dar. Die Lernenden ermitteln Funktionsgleichungen und Zeichenbereiche, die als...

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Mathematik

Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen

Das Lösen von Potenzen und Wurzeln und die Äquivalenzumformungen...

Das Lösen von Potenzen und Wurzeln und die Äquivalenzumformungen über Gleichungen/Ungleichungen werden wiederholt. Zur Motivation der Anwendung von Wurzelgleichungen dient eine Aufgabe zu Berechnungen am Obelisken von Luxor, der seit 1836 auf dem Place de la Concorde in Paris steht. Anschließend wird der Begriff der Wurzelgleichung einschließlich...

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Mathematik

Wurzelfunktionen und Arkussinus Wurzelfunktionen und Arkussinus

Dieser Beitrag fordert Ihre Schülerinnen und Schüler heraus – in...

Dieser Beitrag fordert Ihre Schülerinnen und Schüler heraus – in einem Test diskutieren sie Eigenschaften und Verhalten von zusammengesetzten Funktionen aus Arkussinus-, Wurzel- und gebrochenrationalen Termen und bestimmen Integrale mithilfe der partiellen Integration und Integration über Substitution. Dadurch festigen sie ihr Können und Wissen...

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Mathematik

Fläche, Volumen, Kepler'sche... Fläche, Volumen, Kepler'sche Fassregel

Warum heißt eine Regel zur näherungsweisen Berechnung von Flächen...

Warum heißt eine Regel zur näherungsweisen Berechnung von Flächen „Fassregel“? Und wer hat sie zuerst verwendet? Torricelli, Simpson, Newton oder Kepler? In diesem Lesebuchbeitrag, ergänzt mit Aufgaben, gehen Ihre Schuler auf Spurensuche und beschäftigen sich mit der Herleitung und der Anwendung der Regel.

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Mathematik

Puzzle zum Thema "lineare... Puzzle zum Thema "lineare Funktionen"

Puzzles faszinieren die Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit....

Puzzles faszinieren die Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Beim Zusammensetzen müssen die Teile genau passen. Ähnlich ist es bei Anlegespielen wie z. B. Domino, bei dem Spielsteine mit gleicher Augenzahl aneinandergelegt werden. Der Beitrag macht sich den motivierenden Aspekt dieser Spiele zunutze. Mit einem Anlegespiel zu linearen Funktionen...

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Mathematik

Lineare Funktionen im Rösselsprung Lineare Funktionen im Rösselsprung

Auf spielerische Weise lernen Ihre Schülerinnen und Schüler mit diesem...

Auf spielerische Weise lernen Ihre Schülerinnen und Schüler mit diesem Beitrag die Eigenschaften von linearen Funktionen kennen. In einem Gruppenspiel bewegen sie ihren Spielstein im Rösselsprung über das Spielfeld, gelangen zu Spielkarten, auf denen eine lineare Funktion steht, und ordnen der Funktion Eigenschaften zu (liegen vorgegebene Punkte auf der...

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Mathematik

Schar von Wurzelfunktionen - Test Schar von Wurzelfunktionen - Test

Dieser Beitrag enthält eine Lernerfolgskontrolle im Bereich von...

Dieser Beitrag enthält eine Lernerfolgskontrolle im Bereich von Wurzelfunktionen. Ziel des Beitrags ist es, das Wissen der Lernenden zu überprüfen. So führen diese eine Kurvendiskussion durch. Sie beschäftigen sich mit Stammfunktionen und berechnen die Fläche eines Dreiecks bzw. das Volumen eines Rotationskörpers.

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Mathematik

Grenzwerte Grenzwerte

Interessant ist das Verhalten von Funktionen in Bereichen, welche nicht...

Interessant ist das Verhalten von Funktionen in Bereichen, welche nicht unmittelbar zugänglich sind, z. B. im Unendlichen oder in der Umgebung von Definitionslücken. Dieser Beitrag stellt den theoretischen Hintergrund vor, vertieft das Wissen der Lernenden anhand von Aufgaben und bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre Schüler und Schülerinnen mit einer...

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Mathematik

Einen Funktionsterm zu gegebenen... Einen Funktionsterm zu gegebenen Eigenschaften eines Graphen ermitteln

Wie baut man eine Straßenbahnbrücke, zählt Käferpopulationen...

Wie baut man eine Straßenbahnbrücke, zählt Käferpopulationen und sagt Wasserstände an der Nordseeküste voraus? Drei völlig unterschiedliche Probleme, doch ihre Lösung ist gleich: Man modelliert die Vorgänge mit Funktionen. In diesem Beitrag bestimmen Ihre Schülerinnen und Schüler anhand von lebensnahen Aufgaben mit den...

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Änderungsrate beim Füllstand... Änderungsrate beim Füllstand einer Talsperre

Die Dürre hatte die vergangenen Jahre viele Teile Europas fest im Griff. Sie...

Die Dürre hatte die vergangenen Jahre viele Teile Europas fest im Griff. Sie lässt die Pflanzenwelt verkümmern, senkt den Grundwasserspiegel und den Wasserstand von Flüssen und Stauseen. Dadurch produzieren auch Wasserkraftwerke weniger „grünen“ Strom. Mit den Werkzeugen der Analysis untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler...

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Mathematik

Änderungsrate beim Flächeninhalt... Änderungsrate beim Flächeninhalt von Dreiecken

Beim Parkett verlegen geht es um jeden Millimeter. Besonders verwinkelte...

Beim Parkett verlegen geht es um jeden Millimeter. Besonders verwinkelte Räume und komplizierte Muster stellen eine Herausforderung dar. Bei einer strahlenförmigen Verlegung bilden sich ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Wie sich ihr Flächeninhalt verändert, untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler in diesem Beitrag. Insbesondere erarbeiten...

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Produkt- und Kettenregel Produkt- und Kettenregel

In dieser Unterrichtseinheit üben Ihre Schülerinnen und Schüler...

In dieser Unterrichtseinheit üben Ihre Schülerinnen und Schüler anhand von zahlreichen Beispielen und Aufgaben das Ableiten von Funktionstermen mithilfe der Produkt- und der Kettenregel. Sichere Kenntnisse und Fertigkeiten zu diesen Verfahren helfen den Lernenden – neben dem inhaltlichen Verständnis des Ableitungsbegriffs –, wenn sie die...

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Mathematik

Den Mittelwert einer Funktion... Den Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall berechnen

Wie viele Menschen infizieren sich wöchentlich durchschnittlich mit dem...

Wie viele Menschen infizieren sich wöchentlich durchschnittlich mit dem Corona-Virus? Dies ist nicht nur für die Johns-Hopkins-Universität interessant, sondern stellt eine aktuelle Anwendung des Mittelwerts von Funktionen dar. Vom Begriff des arithmetischen Mittels ausgehend erarbeiten sich die Lernenden in diesem Beitrag den Mittelwert von Funktionswerten....

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Mathematik

Ganzrationale Funktionen Ganzrationale Funktionen

Stromtarife lassen sich durch eine ganzrationale Funktion modellieren. In diesem...

Stromtarife lassen sich durch eine ganzrationale Funktion modellieren. In diesem Beitrag geht es um Übungen im Bereich der ganzrationalen Funktionen. Ziel ist es, das Wissen der Schüler durch vorgefertigte Tests unter Beweis zu stellen und ihr Zeitmanagement zu fördern.

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Gebrochenrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen

Eine Rennstrecke zu meistern, ist so anspruchsvoll wie das Lösen...

Eine Rennstrecke zu meistern, ist so anspruchsvoll wie das Lösen gebrochenrationaler Funktionen, mit denen sich der Verlauf der Rennstrecke modellieren lässt. Dieser Beitrag enthält Lernerfolgskontrollen im Bereich der gebrochenrationalen Funktionen. Ziel ist es, das Wissen der Schüler durch vorgefertigte Tests zu prüfen.

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Mathematik

Reelle Funktionen Reelle Funktionen

Dieser Beitrag enthält Lernerfolgskontrollen im Bereich der Exponential- und...

Dieser Beitrag enthält Lernerfolgskontrollen im Bereich der Exponential- und Logarithmusfunktionen. Ziel ist es, das Wissen der Schüler durch vorgefertigte Tests zu prüfen.

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Mathematik

Steig- und Sinkflug beim... Steig- und Sinkflug beim Segelfliegen

Ohne Motor und mit einer ordentlichen Portion Mut geht es hoch in die Lüfte....

Ohne Motor und mit einer ordentlichen Portion Mut geht es hoch in die Lüfte. Eine Seilwinde beschleunigt die schlanken Flieger, bis sie abheben. Danach nutzen die Piloten geschickt die Thermik aus und können so mehrere Stunden in der Luft bleiben. In diesem Beitrag werden die verschiedenen Segelflugphasen mit Polynomfunktionen modelliert. Mithilfe von Ableitungs-...

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Die Entwicklung von Covid-19 aus... Die Entwicklung von Covid-19 aus mathematischer Sicht

Diese Unterrichtseinheit bietet anhand authentischer Kontexte die...

Diese Unterrichtseinheit bietet anhand authentischer Kontexte die Möglichkeit, insbesondere die Kompetenzbereiche Modellieren und Werkzeuge nutzen zu stärken. Mathematik kann sich nur im Wechselspiel zwischen der Theorie und der Realität entwickeln, um so einen Beitrag zu leisten, die uns umgebende Welt zu verstehen und mitzugestalten. Die Materialien erlauben...

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Mathematik

Teste dein Wissen Teste dein Wissen

Diese Sammlung von Tests für die gymnasialen Oberstufe zur Diskussion von...

Diese Sammlung von Tests für die gymnasialen Oberstufe zur Diskussion von gebrochenrationalen Funktionen lässt sich ideal zur Prüfungsvorbereitung nutzen. Die Schülerinnen und Schüler erlangen selbstständig oder in Gruppenarbeit ein vertieftes Verständnis von Funktionsgraphen, die sie mithilfe der Differential- und Integralrechnung sowie...

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Trigonometrische und periodische... Trigonometrische und periodische Funktionen

Diese Aufgabensammlung handelt von den elementaren trigonometrischen Funktionen...

Diese Aufgabensammlung handelt von den elementaren trigonometrischen Funktionen und weiteren Abbildungen mit periodischen Eigenschaften. Eigenständig oder in Gruppenarbeit vertiefen Ihre Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Verständnis. Dabei verbinden sie verschiedene Teildisziplinen der gymnasialen Oberstufe zu einem Ganzen. Mit herausfordernden...

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Architektonisches Problem Architektonisches Problem

Dieser Oberstufenbeitrag beinhaltet zwei Problemstellungen, welche...

Dieser Oberstufenbeitrag beinhaltet zwei Problemstellungen, welche Extremwertprobleme mit anschaulichen Geometrien verbinden. Sie vertiefen das Wissen Ihrer Schülerinnen und Schüler im Bereich der Differentialrechnung mithilfe von lebensnahen Rechenbeispielen. Bereiten Sie Ihre Klasse mit angewandten Fragestellungen ideal auf die Abiturprüfung vor.

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Differenzieren und Integrieren... Differenzieren und Integrieren in Sachzusammenhängen

Der motivierende Beitrag zur Abiturvorbereitung beschäftigt sich mit der...

Der motivierende Beitrag zur Abiturvorbereitung beschäftigt sich mit der Anwendung der Differenzial- und Integralrechnung auf anschauliche Formen und Geometrien unserer Alltagsgegenstände und Umwelt. Mit abwechslungsreichen Methoden vom eigenständigen Arbeiten bis hin zur Gruppenarbeit werden verschiedene Funktionsklassen von ganzrationalen bis hin zu...

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Potenzfunktionen Potenzfunktionen

In diesem Beitrag geht es um Potenzfunktionen mit natürlichen und negativ...

In diesem Beitrag geht es um Potenzfunktionen mit natürlichen und negativ ganzzahligen Exponenten. Ziel ist es, das Wissen erfolgreich anzuwenden. Mit einer Vielzahl von Übungsmaterialien wird der Unterschied von Potenz- und ganzrationaler Funktion erkannt und Nullstellen durch Polynomdivision bestimmt.

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Mathematik

Unendliche Variantenvielfalt... Unendliche Variantenvielfalt anhand von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind in diesem Beitrag Gegenstand umfangreicher...

Exponentialfunktionen sind in diesem Beitrag Gegenstand umfangreicher Betrachtungen. Ziel ist es, die grenzenlose Fülle der sich daraus ergebenden Möglichkeiten zur Wiederholung, Übung und Anwendung mathematischer Regeln und Berechnungen in der Differential- und der Integralrechnung darzustellen und ihre Nutzung im Unterricht anzuregen.

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Mathematik

Ganzrationale Funktion Ganzrationale Funktion

In diesem Beitrag prüfen Ihre Schüler ihr mathematisches Wissen. Sie...

In diesem Beitrag prüfen Ihre Schüler ihr mathematisches Wissen. Sie untersuchen eine ganzrationale Funktion hinsichtlich Symmetrie und Extrempunkte. Darüber hinaus führen sie Berechnungen zu Schnittpunkten und Integralen durch.

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Mathematische Regeln wiederholen Mathematische Regeln wiederholen

In diesem Beitrag sind Exponentialfunktionen Gegenstand umfangreicher...

In diesem Beitrag sind Exponentialfunktionen Gegenstand umfangreicher Betrachtungen. Ziel ist es, die grenzenlose Fülle der sich daraus ergebenden Möglichkeiten zur Wiederholung, Übung und Anwendung mathematischer Regeln und Berechnungen in der Differential- und der Integralrechnung darzustellen und ihre Nutzung im Unterricht anzuregen.

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Integration spezieller Funktionen Integration spezieller Funktionen

In diesem Beitrag lernen die Schüler zunächst verkettete Funktionen und...

In diesem Beitrag lernen die Schüler zunächst verkettete Funktionen und damit auch die Kettenregel der Differenzialrechnung neu kennen. Anschließend wiederholen sie zum Einstieg in die Integralrechnung Integrale von elementaren Funktionen. Danach erarbeiten sich die Lernenden durch zielgerichtete Aufgaben Integrationsformeln für spezielle...

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Extremwertaufgaben mit... Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

In diesem Beitrag werden im Theorieteil einige Beispiele zu Extremwertaufgaben...

In diesem Beitrag werden im Theorieteil einige Beispiele zu Extremwertaufgaben aufgeführt, beispielsweise wie man den zum Ursprung nächsten Kurvenpunkt oder das größtmögliche Quadervolumen in einer Pyramide erhält. Anschließend führen Ihre Schüler abgestimmte Aufgaben zu Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen durch und...

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Grafisches Integrieren Grafisches Integrieren

In diesem Beitrag soll der Graph einer Stammfunktion zeichnerisch gewonnen werden....

In diesem Beitrag soll der Graph einer Stammfunktion zeichnerisch gewonnen werden. Im ersten Teil des Beitrags werden die Grundlagen wiederholt und das grafische Integrieren erläutert. Im zweiten Teil des Beitrags haben Ihre Schüler die Möglichkeit das gewonnene Wissen durch abgestimmte Aufgaben innerhalb eines Lernzirkels anzuwenden und zu festigen.

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Mathematik

Übung mathematischer Regeln Übung mathematischer Regeln

In diesem Beitrag sind gebrochenrationale Funktionen Gegenstand umfangreicher...

In diesem Beitrag sind gebrochenrationale Funktionen Gegenstand umfangreicher Betrachtungen. Ziel ist es, die grenzenlose Fülle der sich daraus ergebenden Möglichkeiten zur Wiederholung, Übung und Anwendung mathematischer Regeln, Algorithmen und Berechnungen in der Differential- und der Integralrechnung darzustellen und ihre Nutzung im Unterricht anzuregen.

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Diskussion von... Diskussion von Exponentialfunktionen

In diesem Beitrag führen Ihre Schüler die Kurvendiskussion verschiedener...

In diesem Beitrag führen Ihre Schüler die Kurvendiskussion verschiedener Exponentialfunktionen durch. Strauchwachstum und die Tilgung eines Darlehens stellen dabei anschauliche Anwendungskontexte dar. Außerdem berechnen die Lernenden das Volumen eines Doppelkegels und eines Kegelstumpfes.

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Gestufter Körper aus... Gestufter Körper aus Einheitswürfeln

Verschiedene Bereiche des Fachs Mathematik verknüpfend, beschäftigen...

Verschiedene Bereiche des Fachs Mathematik verknüpfend, beschäftigen sich Ihre Schüler in diesem Beitrag mit Aufgaben zu Stochastik und Analysis. Die Lernenden vollziehen zunächst das Modell eines gestuften Körpers aus Einheitswürfeln nach, indem sie dieses nachbauen oder sich mit einer Excel-Tabelle behelfen. Danach bestimmen sie den...

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Mathematik

Berechnungen am Rotationskörper Berechnungen am Rotationskörper

In diesem Beitrag bestimmen Ihre Schülerinnen und Schüler das Volumen...

In diesem Beitrag bestimmen Ihre Schülerinnen und Schüler das Volumen und die Mantelfläche von Körpern, die durch Rotation entstehen. Dabei erhalten sie nötige Hilfestellungen in Form einer Tipp-Karte zu wichtigen Grundlagen.

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Mathematik

Geraden- und Kurvenschar Geraden- und Kurvenschar

In diesem Beitrag beschäftigen sich Ihre Schülerinnen und Schüler...

In diesem Beitrag beschäftigen sich Ihre Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht mit den Themen Geradenschar schneidet Normalparabel, Nullstellen einer Kurvenschaar sowie Dreieck im Umkreis.

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Grafisches Differenzieren Grafisches Differenzieren

In diesem Beitrag wiederholen Ihre Schülerinnen und Schüler zu Beginn...

In diesem Beitrag wiederholen Ihre Schülerinnen und Schüler zu Beginn bereits Bekanntes aus der Diffe-renzialrechnung wie Ableitung, Ableitungsregeln und deren Anwendung und stellen Zusammenhänge zwischen dem Graphen einer Funktion und den Graphen ihrer beiden Ableitungsfunktionen heraus. Anschließend beschäftigen sie sich mit zwei Methoden zur...

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Mathematik

Flächenüberdeckung mit Drehung... Flächenüberdeckung mit Drehung der Deckfläche um einen festen Punkt

Im Beitrag Flächenüberdeckung mit Drehung der Deckfläche um einen...

Im Beitrag Flächenüberdeckung mit Drehung der Deckfläche um einen festen Punkt stellen die Lernenden zunächst Vermutungen an, ob der Graph der gesuchten Funktion durch eine sin-Kurve oder durch Aneinanderfügen von Ästen quadratischer Parabeln dargestellt werden kann. Im zweiten Teil bestimmen sie Überdeckungsflächen für einen...

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Mathematik

Eine Untersuchung ganzrationaler... Eine Untersuchung ganzrationaler Funktionen

Mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge untersuchen Ihre Schüler in diesem...

Mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge untersuchen Ihre Schüler in diesem Beitrag ganzrationale Funktionen. Die Lernenden bstimmen Extrempunkte, Monotonie sowie Veränderungen am Graphen. Nach grundlegenden Aufgaben berechnen sie Extremwertprobleme.

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Übungsaufgaben zum Thema... Übungsaufgaben zum Thema Sinuskurven

In diesem Beitrag bearbeiten Ihre Schüler im Mathematikunterricht...

In diesem Beitrag bearbeiten Ihre Schüler im Mathematikunterricht Übungsaufgaben zum Thema Sinuskurven. Die Lernenden erkennen Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Graphen und setzen Funktionsgleichungen in Graphen um. In diesem Zusammenhang wiederholen Sie wichtige Eigenschaften von Sinuskurven.

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Anwendungen der... Anwendungen der Differenzialrechnung in der Wirtschaft

Anhand der Materilaien dieses Beitrags zu Anwendungen der Differenzialrechnung in...

Anhand der Materilaien dieses Beitrags zu Anwendungen der Differenzialrechnung in der Wirtschaft erarbeiten Ihre Schüler im Mathematikunterricht verschiedene ökonomische Begriffe. Beispielsweise setzen sie sich mit dem Break-Even-Point und dem Cournot’schen Punkt auseinander. Dabei entwickeln die Lernenden ein grundlegendes ökonomisches Verständnis....

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Kettenbrüche und deren Anwendung Kettenbrüche und deren Anwendung

Eine Darstellungsmöglichkeit einer reellen Zahl ist die Darstellung als...

Eine Darstellungsmöglichkeit einer reellen Zahl ist die Darstellung als sogenannter Kettenbruch. Ausgehend von einer Begriffsdefinition des regelmäßigen Kettenbruchs sollen Ihre Schüler zunächst einen CAS-tauglichen Algorithmus finden, der hilft, reelle Zahlen in Kettenbrüche umzuwandeln. Anschließend schreiben sie zunächst rationale...

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Mathematik

Unendliche Variantenvielfalt... Unendliche Variantenvielfalt anhand von gebrochenrationalen Funktionen

In diesem Beitrag sind die gebrochenrationalen Funktionen Gegenstand umfangreicher...

In diesem Beitrag sind die gebrochenrationalen Funktionen Gegenstand umfangreicher Betrachtungen im Mathematikunterricht. Ziel des Beitrags ist es, die grenzenlose Fülle der sich daraus ergebenden Möglichkeiten zur Wiederholung, Übung und Anwendung mathematischer Regeln, Algorithmen und Berechnungen in der Differenzial- und der Integralrechnung darzustellen...

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Mathematik

Parabel und Dreieck Parabel und Dreieck

Nutzen Sie die Geometriesoftware GeoGebra unterstützend in Ihrem...

Nutzen Sie die Geometriesoftware GeoGebra unterstützend in Ihrem Mathematikunterricht. In diesem Beitrag bestimmen Ihre Schüler Tangenten- und Normalengleichungen und berechnen den Flächeninhalt von Dreiecken. Mithilfe von GeoGebra können die Lernenden die Aufgabenstellung konstruieren und veranschaulichen. Dadurch wird das mathematische Verständnis...

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Mathematik

Integration durch Substitution... Integration durch Substitution und partielle Integration

Anhand der Materialien dieses Beitrags wiederholen die Lernenden im ersten Schritt...

Anhand der Materialien dieses Beitrags wiederholen die Lernenden im ersten Schritt verschiedene Integrationsverfahren. Im zweiten Schritt erarbeiten sie die beiden Integrationsverfahren Substitution und partielle Integration. Abschließend wenden sie die Integralrechnung bei der Flächen- und Volumenberechnung an.

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Verkettung von Funktionen Verkettung von Funktionen

In diesem Beitrag beschäftigen sich Ihre Schüler im Mathematikunterricht...

In diesem Beitrag beschäftigen sich Ihre Schüler im Mathematikunterricht mit der Verkettung von Funktionen. Dabei betrachten sie die Graphen einer Parabel und einer Gerade sowie eine Zuordnungsgleichung.

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Mathematik

Weiterführende trigonometrische... Weiterführende trigonometrische Aufgaben

In diesem Beitrag führen Ihre Schüler weiterführende Aufgaben zur...

In diesem Beitrag führen Ihre Schüler weiterführende Aufgaben zur Trigonometrie durch. Dabei liegt der Fokus auf der Förderung der Kompetenzen Begründen und Beweisen. Ihre Schüler befassen sich mit der trigonometrischen Konstruktion dreier gleich langer Teilstrecken und der Konstruktion von Flächen im Sehenvieleck.

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Mathematik

Anwendungen der... Anwendungen der Differenzialrechnung in der Wirtschaft

In diesem Beitrag beschäftigen sich Ihre Schüler mit der Anwendung der...

In diesem Beitrag beschäftigen sich Ihre Schüler mit der Anwendung der Differenzialrechnung in der Wirtschaft. Anhand eines einfachen Einstiegsbeispiel erarbeiten Ihre Schüler grundlegende Begriffe wie Kosten, Erlös und Gewinn. Mithilfe von Infoblättern bearbeiten die Lernenden weiterführende Aufgaben. Dies kann in arbeitsteiliger Gruppenarbeit...

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Mathematik

Wiederholen von Eigenschaften... Wiederholen von Eigenschaften der Exponentialfunktion mit Fadolinos

Lassen Sie Ihre Schüler im Mathematikunterricht die Eigenschaften der...

Lassen Sie Ihre Schüler im Mathematikunterricht die Eigenschaften der Exponentialfunktion selbsttätig mit den Fadolinos dieses Beitrags wiederholen. Dabei trainieren die Lernenden die Ableitung, Entwicklung, Extrempunkte und Umkehrfunktion von Exponentialfunktionen. Die Fadolinos stellen eine ideale Möglichkeit der Selbstkontrolle dar.

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Mathematik

Das bestimmte Integral Das bestimmte Integral

In diesem Beitrag befassen sich Ihre Schüler mit der Definition des...

In diesem Beitrag befassen sich Ihre Schüler mit der Definition des bestimmten Integrals in Zusammenhang mit seiner graphisch-geometrischen Bedeutung. Außerdem betrachten sie die Eigenschaften des bestimmtenn Integrals. Die Lernenden wenden die Theorie auf verschiedene Problemstellungen an.

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Influenza Influenza

In diesem Beitrag modellieren Ihre Schüler die Grippewelle der Saison...

In diesem Beitrag modellieren Ihre Schüler die Grippewelle der Saison 2017/2018 mathematisch. Als Grundlage dienen Daten, die vom Robert Koch-Institut erfasst worden sind. Anhand verschiedener Funktionenarten werden diese Daten angenähert. Die Lernenden vergleichen die Graphen der Funktionen, um zu bewerten, inwieweit sich die Funktionen zum Modellieren der...

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Mathematik

Die Stammfunktion und das... Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral

Mit den Materialien dieses Beitrags definieren Ihre Schüler in der Oberstufe...

Mit den Materialien dieses Beitrags definieren Ihre Schüler in der Oberstufe den Begriff der Stammfunktion und lernen wichtige Stammfunktionen kennen. Zudem beschäftigen sie sich mit der Definition des unbestimmten Integrals und dessen Rechenregeln. Nachdem die Lernenden die Theorie erarbeitet haben, wenden sie das erlernte Wissen in passgenauen Übungen an.

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Die Integralfunktion Die Integralfunktion

In diesem Beitrag geht es um die Definition des Begriffs der Integralfunktion....

In diesem Beitrag geht es um die Definition des Begriffs der Integralfunktion. Ihre Klasse befasst sich dabei mit der Entwicklung des Zusammenhangs zwischen Funktion und Integralfunktion. Anschließend führen Ihre Schüler abgestimmte Aufgaben durch, um die Definition anzuwenden und zu verstehen.

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Der Hauptsatz der Differential-... Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

In diesem Beitrag erarbeitet sich Ihre Klasse im Mathematikunterricht den...

In diesem Beitrag erarbeitet sich Ihre Klasse im Mathematikunterricht den Zusammenhang zwischen Integralfunktion und Integrandenfunktion. Diese Überlegungen führen die Lernenden zum Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI), den sie beweisen. In einem weiteren Schritt ziehen sie Folgerungen aus dem HDI.

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Das uneigentliche Integral Das uneigentliche Integral

Neben bestimmtem und unbestimmtem Integral sollte im Mathemtikunterricht im Rahmen...

Neben bestimmtem und unbestimmtem Integral sollte im Mathemtikunterricht im Rahmen der Integralrechnung auch das uneigentliche Integral behandelt werden. In diesem Beitrag lernen Ihre Schüler die Definition des uneigentlichen Integrals in Zusammenhang mit seiner graphisch-geometrischen Bedeutung. Anschließend üben sie die erlernte Theorie anhand passgenauer...

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Flächenberechnung Flächenberechnung

Mit den Materialien dieses Beitrags wenden die Lernenden den Hauptsatz der...

Mit den Materialien dieses Beitrags wenden die Lernenden den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung auf die Berechnung von Flächen an. Die betreffenden Flächen schließen einen oder zwei Graphen ein. Ihre Klasse trainiert in einer Vielzahl von abgestimmten Aufgaben ihr erlerntes Wissen zur Integralrechnung.

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Es weihnachtet sehr Es weihnachtet sehr

Lassen Sie Ihre Schüler in den Stunden vor Weihnachten eine Tannenbaumspitze...

Lassen Sie Ihre Schüler in den Stunden vor Weihnachten eine Tannenbaumspitze modellieren. Die Herausforderung dabei ist es, mit möglichst vielen verschiedenen Funktionenarten und geometrischen Formen die Silhouette einer Tannenbaumspitze zu gestalten und darzustellen. Anschließend an diese Formgestaltung berechnen die Lernenden die Querschnittsfläche und...

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Unendliche Variantenvielfalt... Unendliche Variantenvielfalt anhand einer Wurzelfunktion

Fordern und fördern Sie das mathematische Interesse Ihrer Schüler mit...

Fordern und fördern Sie das mathematische Interesse Ihrer Schüler mit den Aufgaben zur unendlichen Variantenvielfalt. Ihre Klasse wiederholt und übt anhand einer Parametergleichung mathematische Regeln und Algorithmen. Die behandelten Aufgaben können Ausgangspunkt für weitere Problemstellungen sein, sodass die Lernenden Ihre Transferfertigkeit...

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Von Hewschober, Senne und Boltz Von Hewschober, Senne und Boltz

Motivieren Sie Ihre Schüler mit einem Lesebuch zu Johannes Keplers...

Motivieren Sie Ihre Schüler mit einem Lesebuch zu Johannes Keplers Rotationskörpern und Kreisberechnungen. Mithilfe von Textausschnitten und historischen Abbildungen aus Keplers "Wein-Visier-Büchlein" von 1616 reist Ihre Klasse in der Zeit zurück. Dabei vergleichen die Lernenden Keplers Zahlenbeispiele mit modernen Formeln und Schreibweisen.

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Mathematik

Herleitung und Übungen zur... Herleitung und Übungen zur Ableitung verketteter Funktionen

Anhand der Materialien dieses Beitrags erarbeiten Ihre Schüler die Ableitung...

Anhand der Materialien dieses Beitrags erarbeiten Ihre Schüler die Ableitung verketteter Funktionen. Nach der Herleitung der Kettenregel wenden sie diese in passgenauen Übungen an. Kurz und kompakt wird auf diese Weise das Verständnis für die Kettenregel entwickelt.

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Mathematik

Funktionsgleichungen bestimmen Funktionsgleichungen bestimmen

In diesem Beitrag stellen Ihre Schüler Funktionsgleichungen auf. In einem...

In diesem Beitrag stellen Ihre Schüler Funktionsgleichungen auf. In einem weiteren Schritt skizzieren sie die zugehörigen Graphen. Dabei trainieren die Lernenden, Zusammenhänge zwischen Funktionen und ihren Graphen zu erkennen.

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Die Untersuchung von... Die Untersuchung von Änderungsrate und Ableitung

Mit den Materialien dieses Beitrags untersuchen die Lernenden die...

Mit den Materialien dieses Beitrags untersuchen die Lernenden die Änderungsrate und die Ableitung im Mathematikunterricht. Zunächst informieren sie sich grundlegend über die mittlere und momentane Änderungsrate, sowie zur Ableitung und Steigung. Im Anschluss üben sie ihr erworbenes Wissen anhand abgestimmter Aufgaben.

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Mathematik

Herleitung und Übungen zu... Herleitung und Übungen zu trigonometrischen Funktionen und ihren...

Anhand der Materialien dieses Beitrags leiten sich Ihre Schüler die...

Anhand der Materialien dieses Beitrags leiten sich Ihre Schüler die Ableitungen von Sinus und Kosinus her. Dabei wiederholen sie die Winkelfunktionen im Einheitskreis, das Bogenmaß und die Additionstheoreme. Mit passgenauen Aufgaben trainieren die Lernenden im Mathematikunterricht das Verständnis für Ableitungen trigonometrischer Funktionen. Zudem...

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Mathematik

Die Suche nach einer Telefonzelle Die Suche nach einer Telefonzelle

In dieser praxisnahen Betrachtung vertiefen Ihre Schüler ihre Kenntnisse der...

In dieser praxisnahen Betrachtung vertiefen Ihre Schüler ihre Kenntnisse der Modellierung verschiedener Funktionsarten. Dabei schulen sie ihr vernetztes Denken, indem sie Graphen bewerten, Grenzwerte bestimmen und die Prozentrechnung einbringen. In diesem Zusammenhang gehen die Lernenden im Mathematikunterricht dem Verschwinden von Telefonzellen auf den Grund.

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Mathematik

Figuren aus Funktionen Figuren aus Funktionen

Dieser anschauliche Beitrag hilft Ihren Schülern im Mathematikunterricht, den...

Dieser anschauliche Beitrag hilft Ihren Schülern im Mathematikunterricht, den Zusammenhang zwischen Funktion und Graph zu verstehen. Sie untersuchen in ausgewählten Aufgaben die Graphen ganzrationaler, gebrochenrationaler und Exponentialfunktionen oder generieren aus gegeben Funktionen den Graph. Indem die Lernenden in einem weitergehenden Schritt...

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Vielfältige Extremwertaufgaben Vielfältige Extremwertaufgaben

In diesem Beitrag finden Sie für Ihren Mathematikunterricht vielfältige...

In diesem Beitrag finden Sie für Ihren Mathematikunterricht vielfältige Extremwertaufgaben. Ihre Schüler vertiefen dabei ihre Kenntnisse bezüglich ganzrationaler, gebrochenrationaler und Wurzelfunktionen. Indem die Lernenden in einem weitergehenden Schritt Flächeninhalte und Rotationsvolumen optimieren, schulen sie ihr vernetztes Denken.

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Mathematik

Eine Funktion - vier Varianten Eine Funktion - vier Varianten

In diesem Beitrag werden - ausgehend von einer ehemaligen Abituraufgabe - vier...

In diesem Beitrag werden - ausgehend von einer ehemaligen Abituraufgabe - vier abgeleitete Varianten mit unterschiedlichen Schwerpunkten vorgestellt.

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Mathematik

Die NEW-Regel Die NEW-Regel

In diesem Beitrag werden - im Internet kursierende - Theorien thematisiert und vom...

In diesem Beitrag werden - im Internet kursierende - Theorien thematisiert und vom mathematischen Standpunkt aus hinterfragt.

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Mathematik

Ableitungen von Exponential- und... Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Dieser Beitrag besteht aus Material zur Herleitung der Ableitung von Exponential-...

Dieser Beitrag besteht aus Material zur Herleitung der Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen. Ihre Schüler können die neu gewonnenen Erkenntnisse in passenden Aufgaben anwenden und mit ihrem Vorwissen verknüpfen.

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Mathematik

Ableitungen von Polynomen, ihren... Ableitungen von Polynomen, ihren Produkten und Quotienten

Dieser Beitrag besteht aus Material zur Herleitung der Ableitung von Polynomen,...

Dieser Beitrag besteht aus Material zur Herleitung der Ableitung von Polynomen, ihren Produkten und deren Quotienten. Ihre Schüler können die neu gewonnenen Erkenntnisse in passenden Aufgaben anwenden und mit ihrem Vorwissen verknüpfen.

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Die Untersuchung linearer und... Die Untersuchung linearer und quadratischer Funktionen mit dem...

Dieser Beitrag besteht aus einem Theorieteil, in dem die wichtigsten Grundlagen...

Dieser Beitrag besteht aus einem Theorieteil, in dem die wichtigsten Grundlagen zusammgefasst sind. Daran schließen sich Aufgaben zu linearen und quadratischen Funktionen an.

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