Differenzialgleichungen vom Typ y' = f(y, x) und y'' = f(y', y, x) - Ein Projekt

Name: Differenzialgleichungen vom Typ y' = f(y, x) und y'' = f(y', y, x) - Ein Projekt
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Gymnasium

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Mathematik

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12. Klasse

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14 Unterrichtsstunden

Beschreibung

Im hier vorgestellten Projekt geht es unter Voraussetzung lokal stetiger und differenzierbarer Funktionen um DGLs, die im Oberstufenunterricht eine Rolle spielen. Es wird nach numerischen und analytischen Lösungen für solche DGLs gesucht.

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# differentialgleichung

# numerisch

# analytisch

# lösungsverfahren

Kompetenzen

Klasse:	12 (G8) oder 13
Dauer:	etwa 14 Unterrichtsstunden für die Teile I und IITeil III dann, wenn der betreffende Typ von DGL im naturwissenschaftlichen Unterricht auftritt
Inhalt:	Einführung in Differenzialgleichungen vom Typ y′ = f(y,x) und y′′ = f(y′,y,x):Unter Voraussetzung weniger Kenntnisse des Integrationskalküls gibt dieser Beitrag eine Einführung in Herkunft sowie numerische und analytische Lösungen solcher Differenzialgleichungen.
Ihr Plus:	Das Sachgebiet „Differenzialgleichungen“ gehört ähnlich wie das der Matrizenrechnung zu den eher ungewohnten Unterrichtsinhalten. Daher gibt es nur wenige für die Schüler geeignete Unterrichtsmaterialien. Der vorliegende Beitrag macht Ihre Schüler mit diesem Sachgebiet vertraut. Zudem ermöglichen Ihnen Anwendungsbeispiele aus Physik, Chemie und Biologie fächerverbindendes Unterrichten.

Inhaltsangabe

Teil I: Numerische Lösungen ausgewählter DGL

M 1	Pflöcke in einem großen Sandplatz (Einstieg)Eine motivierende Aufgabe als Einstieg	1./2.
M 2	Die numerische Bearbeitung des EinstiegsproblemsErste Nutzung der Tabellenkalkulation	3.
M 3	Einige Beispiele zur ÜbungNumerische Lösungen zu DGL erster und zweiter Ordnung	4.–6.

Teil II: Analytische Lösungen ausgewählter DGL

M 4	DGL erster OrdnungDGL, die nach Trennung der Variablen durch Umkehrung der Kettenregel lösbar sind	7.–10.
M 5	Exkurs: Zur logistischen WachstumsfunktionAnalytische Behandlung einer bekannten Wachstumsfunktion	11./12.
M 6	DGL zweiter OrdnungAus der Kenntnis der Eigenschaften von Kosinus- und e-Funktion folgen Lösungsansätze bestimmter DGL.	13./14.

Teil III: Vom Nutzen der DGL in der Schule

M 7	DGL der Physik: Infoblatt (Bsp.: Schwingungsgleichungen)Numerische Lösung der Schwingungsgleichung	1./2.
M 8	DGL der Physik: AufgabenAnalytische Lösungen zu:Schwingungsgleichung, Kondensatorentladung, radioaktiver Zerfall, Fall mit Luftreibung, Schrödingergleichung und linearer Potenzialtopf	3.–8.
M 9	DGL der Chemie (auf CD-ROM 66)	HA
M 10	DGL der Biologie (auf CD-ROM 66)	HA

Minimalplan

Behandeln Sie entweder die numerische Lösung ausgewählter DGL (Teil I) oder die analytische Lösung ausgewählter DGL (Teil II). Die Anwendungen (Teil III) sollten Sie kurz anreißen und interessierten Schülern als Hausaufgabe geben, insbesondere das Material, das Sie auf